Thursday, October 11, 2012

The square root of two

The Gemara on Shabbat 8a discusses a kavveret, a round basket made of reeds.

A drawing of a kavveret from the Steinzaltz Talmud (PDF)

The kavveret can be its own domain:

אמר אביי: זרק כוורת לרשות הרבים, גבוהה עשרה ואינה רחבה ששה - חייב, רחבה ששה - פטור. רבא אמר: אפילו אינה רחבה ששה - פטור. מאי טעמא - אי אפשר לקרומיות של קנה שלא יעלו למעלה מעשרה.

Soncino translates:

Abaye said: If one throws a bin into the street, [even] if it is ten [handbreadths] high but not six broad, he is liable; if six broad, he is exempt. Raba said: Even if it is not six broad, he is [still] exempt. What is the reason? It is impossible for a piece of cane not to project above ten.

Why does Abaye want six tefahim of width to exempt the thrower? Rashi (d"h gavohah) explains that a circle of six tefahim contains a 4-by-4 square, which creates its own reshut:

כלומר: אפילו גבוהה עשרה, אם אינה רחבה ששה באמצעיתה - חייב, דאכתי חפץ בעלמא הוא ואינה רשות לעצמה, דלא הוי רשות דאורייתא אלא גבוהה עשרה ורחבה ארבעה על ארבעה, כדאמרינן בעירובין (נא, א) דכל שיעורין דשבת צריך הן ואלכסונן, ודבר עגול כי מרבעת לה מתוכו ומפקע עיגול שסביב הריבוע לא משכחת ביה ארבעה מרובעים אי לא הוי עיגולו קרוב לששה, כדאמרינן גבי סוכה העשויה ככבשן, (סוכה ז, ב) דעל כרחיך צריך שתמצא בתוכו אלכסון של ארבעה על ארבעה, וכל טפח בריבועו טפח ותרי חומשי באלכסונו, הרי חמישה טפחים ושלושה חומשין, ואביי לא דק, ולחומרא הוא דלא דק, ולהפרישו מאיסור שבת, אף על גב דיש כאן אלכסון באינה רחבה ששה - מחייב ליה מדרבנן עד דאיכא ששה, אבל ודאי, לענין קרבן לא מייתי אי הויא חמשה טפחים ושלשה חומשין, דהוי כזורק רשות.

In other words, to calculate the width of the circle, we need to fit a circle around the square's diagonals, like this:

But Rashi notes that Abaye's figure of 6 is not exact. The Gemara gives the diagonal of a square as 1.4 times the length of a side, which would mean a width of 4 × 1.4 = 5.6 for the circle.

So why did Abaye say 6, not 5.6?

Rashi answers that Abaye was approximating, and rounded up in order to "distance one from a prohibition of Shabbat." Tosafot (the first d"h rehavah) quote Rabbeinu Hannanel as answering that Abaye specifically meant 6.0, and the extra 0.4 above 5.6 is for the walls of the basket. Tosafot reject this because they don't think the walls should be included.

One nitpick: the circle in fact should be 5.65685... wide. That's 4 × sqrt(2), since the diagonal of a square is actually sqrt(2) times a side. The square root of 2 is an irrational number that starts 1.41421..., not the clean fraction 1.4.

It seems that Rashi takes the Gemara's figure of 1.4 for the diagonal at face value. Tosafot were aware that it's "slightly more" than 1.4, as they prove in Sukkah 8a, d"h kol.

Sukkah 8a. It's a fun amud.

The irrationality of a diagonal's length was proven in the 5th century BCE by Hippus. That discovery was a big disappointment for the Greeks, who thought all numbers must be rational, and legend says Hippus was murdered for it. That discovery was also a major milestone in number theory. So it's a shame that the hakhmei Tsarfat seem to not have heard about it.

But the Steinsaltz commentary on today's daf notes that the Rambam was aware of irrational numbers. The Rambam's commentary on Eruvin 1:5, he describes the irrationality of π, or 3.14159..., the ratio of a circle's circumference to its diameter:

צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שיודע. אבל אפשר לשערו בקירוב, וכבר עשו מומחי המהנדסים בזה חבורים, כלומר לידיעת יחס הקוטר להקיפו בקירוב ואופני ההוכחה עליו. והקירוב שמשתמשים בו אנשי המדע הוא יחס אחד לשלשה ושביעית, שכל עיגול שקוטרו אמה אחת הרי יש בהקיפו שלש אמות ושביעית אמה בקירוב. וכיון שזה לא יושג לגמרי אלא בקירוב תפשו הם בחשבון גדול ואמרו כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח, והסתפקו בזה בכל המדידות שהוצרכו להן בכל התורה.

It's a number that "we can never say exactly what it is—not by our lack of knowledge, as the fools believe, but because the number is unknown by its nature; it is essentially unknowable. But it can be approximated the ratio of 1 to 3 and 1/7." So anytime π is needed in the Talmud it's rounded to 3, since it's "only approximate" anyway.

That's a pretty clear understanding that π is irrational. Then, on Eruvin 2:5, the Rambam explains that the square root of 5000 is also irrational:

אבל שטח מרובע בעל זויות ישרות שתשבורתו חמשת אלפים אמה אי אפשר לדעת צלע אותו השטח אלא בקירוב, לפי שחמשת אלפים הוא מספר שאין לו שורש, ושרשו בקירוב שבעים אמה וחמש שביעיות אמה, והענין במספר הזה כמו שביארתי לך למעלה ביחס קוטר העיגול להקיפו, לפי שגם הוא אי אפשר לעולם להגיע לידיעת שורש המספר "אלצם" שלו אלא בקירוב, ואין זה מחמת חסרונינו, אלא שטבע אותו מספר כך, ולפיכך אמרו שבעים אמה ושירים, לפי שאם תעשה את השירים האלו חמש שביעיות כמו שביארתי לך ותכפול שבעים אמה וחמש שביעות בשבעים אמה וחמש שביעיות יהיו תוצאות המספר חמשת אלפים וחצי אחד בקירוב.

I can't find anywhere that the Rambam describes a square's diagonal as irrational, but chances are he knew that too. The diagonal of a square does get a shout-out in The Guide for the Perplexed 2:13, but only regarding the diagonal being longer than a side.

No comments: